专题03 二次函数中的等腰三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题03 二次函数中的等腰三角形 1．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标． 【答案】(1)，（1，4）； (2)（4，0）或或 【分析】（1）把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解； （2）过点C作CE⊥x轴于点E，设D（m，0），根据勾股定理可得，，然后分三种情况讨论，即可求解． （1） 解：把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点C的坐标为（1，4）； （2） 解：过点C作CE⊥x轴于点E， 设D（m，0）， ∵A（-1，0），C（1，4）， ∴EA=2，EC=4，DE=m-1， ， ∴，， 当AD=CD时，， 解得：m=4； 当AC=CD时，， 解得：m=3（舍去）或m=-1（舍去）， 当AC=AD时，， 解得：或 综上所述，点D的坐标为（4，0）或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 2．如图，抛物线经过点A（1,0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1）y=-x2+5x-4；（2）（0，-4）或（0，4）． 【详解】试题分析： ⑴ 抛物线y=﹣x²+5x+n经过A(1，0)， 得：-1+5+n=0, ∴n=-4 ∴抛物线的解析式：y=﹣x²+5x-4 ⑵由抛物线解析式得：B(0，-4)，OA=1，OB=4， 由勾股定理得：AB=， 若△PAB是以AB为腰的等腰三角形，且P在y轴的正半轴， ①若AP=AB， 则OP=OB=4， ∴P1（0，4） ②若PB=BA， 则PB=， ∴OP=PB-OB=-4， ∴P2（0，-4）， 综上所述：P1(0，4)，P2(0，-4) 考点：函数解析式 点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 3．抛物线y＝