专题09 二次函数中的将军饮马-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题09 二次函数中的将军饮马 1．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)m=4，顶点坐标为(2，9) (2)P(2，3) 【分析】（1）将点(5，0)，代入，得其解析式，从而求出m的值及抛物线的顶点坐标； （2）利用“将军饮马”思路，点A关于抛物线对称轴l对称的点是点B，进而解决问题． （1） 将点（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得， 0=﹣25+5m+5，m=4， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5 y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，9）； （2） 如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，根据其性质有， PA+PC=PC+PB， 当点C、点P、点B共线时，PC+PB=BC为最小值，即为PA+PC的最小值， 由抛物线解析式为，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为(5，0)，对称轴l为x=2， 设直线BC的解释为y=kx+b， 将点C(0，5)，点B(5，0)，代入y=kx+b得，， 解得， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，联立方程， ，解得， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2，3)． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据解析式求得点的坐标，设抛物线解析式为，将代入，再待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）的结论求得抛物线的对称轴为，再根据题意，求得为与直线的交点，进而求得直线的解析式即可求得点P的坐标． 【详解】（1）抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C， 令，则，即 设抛物线解析式为，将代入，得 解得 （2） 抛物线的对称轴为 根据对称性，关于对称， 连接，交于点 则 当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点 设直线的解析式为，将点，代入，得： 解得 直线的解析式为 在上，则当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，理解题意掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）点P的坐标为 【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=9+3m+3，即可求解； （2）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解； 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为：； （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小， 设直线BC的解析式为：， 由题意得：， 解得， ∴直线BC的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，涉及到最短路径等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点