常考题型15 利用幂函数的图象和性质比较大小-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型15 利用幂函数的图象和性质比较大小 1.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 2.一般幂函数的图象特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 一、利用幂函数的图象和性质比较大小 1.单调性法 同底不同指：利用指数函数单调性进行比较. 同指不同底：利用幂函数单调性进行比较. 2.介值法：既不同底又不同指：常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小. 二、二次函数 1.图象的识别 识别二次函数的图象时，要注意四个方面：一是开口方向；二是对称轴；三是与坐标轴的交点；四是顶点坐标. 2.单调性 1.二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. 2.若已知在区间A上单调递减(单调递增)，则 A⊆即区间A一定在二次函数图象对称轴的左侧（右侧）. 3.区间最值问题 二次函数(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下. (1)当∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，的最小值在顶点处取得，其最小值是=，若≤，则的 最大值为；若，则的最大值为. (2)当∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，在[m，n]上是单调函数.若<m，则在[m，n]上是增函数，的最小值是，最大值是；若 n<，则f(x)在[m，n]上是减函数，的最小值是，最大值是. (3)当不能确定对称轴是否属于区间[m，n]时，需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值. 4.恒成立问题 解题方法指导》 1.恒成立的条件是 2.恒成立的条件是 3.≥恒成立≥，≤恒成立≤。 探究一：幂函数的定义域与值域 若,则不等式的解集是 A． B． C． D． 思路分析： 由幂函数的定义域和单调性得出不等式组,解不等式组即可得出答案。 【解析】解：由得是定义在上的增函数, 则由不等式得,解得:. 故选:A. 【答案】A 【变式练习】 1．幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 A．{–1，0，} B．{，1，2} C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3} 【答案】C 【解析】根据幂函数y=x–1，y=x0，y=，y=x，y=x2，y=x3的图象和解析式可知，当α=–1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R；当α=3时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R，故选C． 2．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：的图象过点，值域为 探究二：幂函数的单调性与奇偶性 “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 思路分析： 要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案。 【解析】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 【答案】A 【变式练习】 1．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或 故必要性不成立 因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件 故选：A 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：函数，所以不是奇函数，不符合题意，故选项A不正确； 对于B：函数是奇函数，在上单调递增，故选项B正确； 对于C：函数是