常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 考法一：函数奇偶性的判定与证明 1.定义法 判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证 =±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下 第一步，确定函数的定义域. 第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步. 第三步，判断与的关系，并确定结论. 若=，则该函数是偶函数； 若=-，则该函数是奇函数； 若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数； 若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数. 2.性质法 (1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性. (2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇. 3.分类讨论法 判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断. 4.配凑法 判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断. 考法二：函数的奇偶性的应用 1.求函数值 利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==. 2.求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤 (1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围. (2)将转化后的自变量代入已知解析式. (3)利用函数的奇偶性求出解析式. 3.求参数 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值. 4.求不等式的解集 已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集. 5.比较函数值的大小 根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题. 探究一：利用函数奇偶性求函数解析式 已知是奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 思路分析： 利用函数为奇函数求在上的解析式即可。 【解析】在上有， ∴，又是奇函数， ∴，故. 故选：C. 【答案】C 【变式练习】 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，当时，， 则， 因为是奇函数， 所以． 故选：． 2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，又当时，， 所以， 又为奇函数，则， 所以. 故选：C． 探究二：利用函数奇偶性求参数 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 思路分析： 根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。 【解析】由函数为奇函数，可得， 所以， 所以，化简得恒成立， 所以，即, 经验证，定义域关于原点对称，且满足，故； 故选:A． 【答案】A 【变式练习】 1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题得. 因为在上单调递减，并且， 所以，所以或. 故选：D 2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．9 B．5 C．25 D． 【答案】B 【解析】因是R上的偶函数，则，即恒成立， 平方整理得：4x(m-1)=0，则有m=1，此时，由正实数a，b满足得， ，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，的最小值为5. 故选：B 探究三：利用函数奇偶性解不等式 已知，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路分析： 由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。 【解析】因为的定义域为,关于原点对称，且， 所以是偶函数， 故由可得， 当时，是增函数， 所以，解得， 故选：B 【答案】B 【变式练习】 1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为定义在上的偶