常考题型13 函数单调性的判断、证明与应用-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型13 函数单调性的判断、证明与应用 1.增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 2.函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 考法一：函数单调性的判断或证明 1.定义法 (1)利用定义法证明函数单调性的步骤 ①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<. ②作差，即-(或-). ③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子. ④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论. ⑤定论，即根据定义得出结论. 其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-). (2)常用的变形技巧: ①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解. ③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方. ④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化. (3)利用定义法证明函数的单调性还可以用作商法. 2.图象法 (1)如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据函数图象的升降趋势，便可直接写出函数的单调区间. (2)在探究函数的单调性并求单调区间问题时，常需要作出函数的大致图象，根据函数图象直观得出函数的单调区间，再利用定义法加以证明. 3.利用已知结论 (1)直接判断法：利用已知函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性，直接写出所求函数的单调区间. (2)转化后利用已知结论.：将所给函数适当地变形，转化为可以利用已知函数单调性的形式，再借助已知函数的单调性写出它的单调区间。 4.性质法 若函数，在区间D上具有单调性，则 (1)当a>0时， a与有相同的单调性，当a<0时，函数a与有相反的单调性. (2)当函数恒为正(或恒为负)时，与有相反的单调性.(3)若≥0，则与具有相同的单调性. (4)在，的公共单调区间上，有如下结论 + - 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 (5)若，都是增(减)函数， ①当>0，且>0时，•也是增(减)函数. ②当<0，且<0时，•是减(增)函数. 5.复合函数单调性的判断方法 (1)对于复合函数，如果在(a，b)上是单调函数，并且在（，）或(，)上也是单调函数，则在(a，b)上的单调性为 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 简记为“同增异减”. (2)若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数. (3)判断复合函数单调性的步骤 ①确定函数定义域. ②将复合函数分解成，. ③分别确定这两个函数的单调性. ④确定复合函数的单调性. 6.抽象函数单调性的判断方法 判断或证明抽象函数单调性常用配凑法 (1)根据所给等式及不等式的特征，将-凑出可用条件式来表达的式子，从而判断出的单调性. (2)常见的配凑方法如下 ①若已知条件中含，常进行如下变形-=f[(-)+]-. ②若已知条件中含，常进行如下变形：-=- 考法二：函数单调性的应用 1.求参数或参数的取值范围：利用函数的单调性求参数或参数的取值范围的解题思路 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参. (2)根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式（组）求出参数的取值范围. 2.比较函数值的大小 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，能数形结合的尽量用图象法求解. 3.解抽象不等式 求解含“f”函数的不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为 >的形式，再根据函数的单调性去掉“”，得到一般的不等式 >(或<). 4.利用函数单调性可以求函数最值. (1)若函数在[a，b]上单调递增，则的最小值是，最大值是. (2)若函数在[a，