常考题型11 函数的值域问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型11 函数的值域问题 常见函数的值域 1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 一、观察法求函数值域 求函数的值域时，应先确定函数的定义域，由定义域和对应法则确定函数的值域.对一些解析式结构简单的函数，可用观察法直接求出它们的值域. 二、配方法求函数值域 求形如的函数的值域可用配方法. 三、利用已知函数的有界性求函数值域 在求复合函数的值域时，有时可利用常见函数的值域求解，如求，的值域，可通过反解出，，利用≥0，≥0求解. 四、数形结合法求函数值域 利用数形结合法求函数的值域或已知函数的值域求有关字母的取值范围时，先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，即可求出值域或最值. 五、换元法求函数值域 比较复杂的函数，可通过换元转化为值域易求的函数，再用相应的方法求值域或最值.利用换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响. 六、分离常数法求函数值域 对齐次分式型函数，通过对函数解析式的分子进行变形，把函数变形成常数加分式的形式，从而可利用函数性质确定其值域. 七、判别式法求函数值域 求形如(a，d中至少有一个不为0)的函数的值域，常把函数转化为关于x的一元二次方程，再利用根的判别式的范围，求y的取值范围，即函数的值域. 探究一：常见函数的函数值域 下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A． B． C． D． 思路分析： A.利用基本不等式判断； B.利用二次函数的性质判断； C. 利用二次函数的性质判断； D.利用基本不等式判断。 【解析】A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确，故选：D 【答案】D 【变式练习】 1．设全集，集合， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题知，， 所以，故A错误；，故B错误； ，故C正确，D错误. 故选：C 2．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，令，由于，故， 故，由反比例函数的性质，在单调递增， 故当时，；当时，， 故函数在的值域为：. 故选：A. 探究二：根式型和分式型函数的值域 若函数的值域是，则函数的值域是（     ） A． B． C． D． 思路分析： 令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域。 【解析】解：令，，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又当时，，当时，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：B． 【答案】B 【变式练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，且 令，， 利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增； ，即， 又，所以函数的值域为 故选：C 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 探究三：抽象函数与复合函数的值域 已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（    ） A．， B．， C．， D．， 思路分析： 当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解。 【解析】当，时，，， 则当，时，即，，所以； 当，时，即，， 由，得，从而，； 当，时，即，，则，． 综上得函数在，上的值域为，． 故选：D． 【答案】D 【变式练习】 1．若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的值域是［1，2］， 而与函数定义不同，值域相同， 所以的值域是［1，2］， 所以的值域为. 故选：B 2．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 探究四：利用函数值域求参数的值或者范围 已知函数的定义域与值域均为，则（    ） A． B． C． D．1 思路分析： 根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案。 【解析】解：∵的解集为， ∴方程的解为或4， 则，，， ∴， 又因函数的值域为， ∴，∴. 故选：A. 【答案】A 【变式练习】 1．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 当时，在上单调递增， 所以，此时， 当时，由， 当且仅当，即 时取等号， 因为在上单调递增， 若的值域为，则有，即，则， 综上，， 所以实数的取值范围为 故选：A 2．已知函数，，对于任意的，