通关练04 空间向量在立体几何最值问题的应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

通关练04 空间向量在立体几何最值问题的应用 一、单选题 1．（2022·湖北·黄梅国际育才高级中学高二期中）四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则,设 所以 令，则当时，， 当时， 因为，所以当时，取最大值，因此的最大值为， 故选：A 2．（2022·全国·高二课时练习）正方体中,动点在线段上,，分别为，的中点.若异面直线与所成的角为，则的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图 设，易得, 设， 则， 即. 当时，取到最大值，当时，取到最小值， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．（2022·浙江·台州一中高二期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】 如图建系，由题意可设，， ， 又 ，， 平面的法向量， 又 面， 即， ， 最小值为. 故选：A. 4．（2022·贵州贵阳·高二开学考试（理））在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆， 由圆的性质可得. 故选：A. 5．（2022·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（