1.2.1 圆的标准方程（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．会判断点与圆的位置关系． 通过圆的标准方程的学习，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}． 2．圆的标准方程： (1)圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2． 圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|. 位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(×) (3)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(×) (4)圆心在原点的圆的方程是x2＋y2＝r2(r>0).(√) (5)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√) 2．[教材第29页练习题3(1)改编]以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 3．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上　　　　　 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 B　[将点P的坐标代入圆的方程，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．] 4．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是____________． (x－1)2＋(y－1)2＝4　[线段AB的垂直平分线方程为y＝x， 则圆心坐标(x，y)应满足 解得x＝y＝1. 则半径r＝ ＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.] 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为(3，4)且经过坐标原点； (2)经过点A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上． 解　(1)因圆心(3，4)，设半径为r，又圆过坐标原点， 故r＝＝5. 因此圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)方法一　设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意得 即解得 故所求圆的标准方程是 (x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法二　由点A，B的坐标，求得直线AB的斜率k＝＝－. 可得AB垂直平分线m的斜率为2. 则AB中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝＝1，y＝＝2. 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心为这两条直线的交点． 联立方程组，得解得 设圆心为C，则圆心坐标为C(2，4)． 又半径r＝|CA|＝， 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法三　设圆心为C. 由圆心在直线3x－y－2＝0上，可设圆心C的坐标为(a，3a－2). 又|CA|＝|CB|，故 ＝. 解得a＝2. 所以圆心为(2，4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. [方法总结]　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法． 1．几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． 2．待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组求得圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： (1)设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列：由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解：解方程组，求出a，b，r； (4)代：将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [训练1]　(1)圆心在x轴上，半径为2，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y－4)2＝4 (2)