1.1.6 第1课时 两点间的距离公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并理解平面上两点间的距离公式． 2．能够灵活应用平面上两点间的距离公式． 通过两点间的距离公式的应用，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝． 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝． (2)已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝|x2－x1|． (3)已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴上的点．(×) (2)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|x2－x1|.(×) (3)原点O(0，0)与任一点A(x，y)的距离|OA|＝.(√) 2．(教材第22页练习题1改编)已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 A　[|MN|＝ ＝5.] 3．已知A(2，－3)，B(1，1)，那么线段AB的长为(　　) A． B． C． D． D　[线段AB的长|AB|＝ ＝. ] 4．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________． 　[由中点坐标公式，得＝1，＝y. 解得x＝4，y＝1.所以点P的坐标为(4，1). 则点P到原点的距离d＝ ＝.] 探究一　应用两点间距离公式求点的坐标 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等． 解　方法一　设点P的坐标为(x，y). 由点P在直线l上和点P到A，B距离相等，建立方程组，得 解得故点P的坐标为(0，1). 方法二　设P(x，y). 易求得两点A(1，－1)，B(2，0)连线所得线段的垂直平分线方程为x＋y－1＝0. 解方程组得 故点P的坐标为(0，1). [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标 [训练1]　已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________________． (－1，0)或(9，0)　 [设点P的坐标为(x，0). 由|PA|＝13，得＝13. 解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0).] 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值． (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大，并求出这个最大值． 解　(1)设A(2，0)关于直线l的对称点为A′(m，n)，则解得 故A′(－2，8). P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点． 解得 故所求的点P的坐标为(－2，3)，|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|＝|8－(－4)|＝12. (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点． 又直线AB的方程为y＝x－2， 解得 故所求的点P的坐标为(12，10)， ||PB|－|PA||的最大值为 |AB|＝ ＝4. [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求两个式子的和或差的最小值或最大值．先利用式子的几何意义和对称思想，转化为两点之间的距离，再利用两点间的距离公式求值 [训练2]　著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．由此可得f(x)＝＋的最小值为______． 5　[由已知得 f(x)＝＋ ＝＋， 所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和． 要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值． 设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(－2，－4). 利用对称思想可知 |MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5， 故f(x)＝＋的最小值为5.] 1．(教