1.1.5 两条直线的交点坐标（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

1．5　两条直线的交点坐标 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 通过求两条直线的交点坐标，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如下表所示． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若由两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两直线相交．(√) (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线相交．(√) (3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交.(√) 2．(教材第20页练习题1改编)直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(　　) A．(－1，1)　　　　　 B．(1，－1) C．(1，1) D．(－1，－1) A　[由得] 3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 D　[由题意，得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1). 又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.] 4．无论a为何实数，直线(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，那么这个定点的坐标为_________． (3，4)　[直线方程可化为a(x－y＋1)＋2x－y－2＝0，由得故定点坐标为(3，4).] 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解　(1)解方程组 得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2)方程组有无数组解，这说明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这说明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [方法总结]　方程组有唯一解，说明两直线相交；方程组无解，说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解，说明两直线重合 [训练1]　直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是(　　) A．　　　　 B．－　　　　 C．2　　　　 D．－2 B　[由得 则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上． 所以－1－2k＝0.解得k＝－.] [知能解读]　具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有： (1)过已知点P(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．(不包含直线x＝x0) (2)斜率为k的平行直线系方程为y＝kx＋b(b为参数). (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠0). (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数). (5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数).(不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0) 求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一(直接法) 解方程组得故P(0，2). 因为l⊥l3，且直线l3的斜率为， 所以直线l的斜率为－. 故直线l的方程为y＝－x＋2， 即4x＋3y－6＝0. 方法二(待定系数法) 由直线l与直线l3垂直，可设直线l的方程为4x＋3y＋m＝0. 解方程组得故P(0，2). 因为直线l过点P(0，2)， 所以4×0＋3×2＋m＝0.解得m＝－6. 故直线l的方程为4x＋3y－6＝0. [变式]　将例2中的“垂直”改为“平行”，其他条件不变，求直线l的方程． 解　方法一(直接法) 由例2可知P(0，2)，直线l的斜率为， 故直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 方法二(待定系数法) 由例2知P(0，2). 设直线l的方程为3x－4y＋n＝0. 由直线l过点P，得3×0－4×2＋n＝0. 解得n＝8. 所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0. [方法总结] 1．涉及两直线交点的问题，通常是先