1.1.3 第3课时 第4课时 直线方程的一般式 直线方程的点法式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

第3课时　直线方程的一般式 *第4课时　直线方程的点法式 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握直线方程的一般式，并会熟练应用． 2．会选择适当的方程形式求直线方程． 3．掌握一般式与其他形式的互化． 通过直线方程的一般式的学习与应用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)称为直线方程的一般式． 1．直线的法向量：与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量． 2．直线方程的点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则称方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0为直线方程的点法式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(√) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．(√) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．(√) 2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，]　　　　　　　 B．[，π) C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π) B　[由直线方程可得该直线的斜率为－. 又－1≤－<0， 所以倾斜角的取值范围是[，π).] 3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0.故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．] 4．(教材第15页练习题2改编)过点A(－1，2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________． 答案：2x－y＋4＝0 [知能解读]　在求直线方程时，根据条件，应先选择适当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的适用条件．若采用点斜式，则先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，则应注意分类讨论，判断截距是否为0. 根据下列条件写出直线方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5). 整理得x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程得＝. 整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1. 整理得x＋3y＋3＝0. [方法总结]　利用直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程转化为一般式． [训练1]　在△ABC中，已知顶点坐标分别为A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2). (1)求BC边上中线的方程． (2)若某一直线过点B，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程． 解　(1)设线段BC的中点为D. 因为B(－3，4)，C(1，2)， 所以点D的坐标为(－1，3). 又BC边上的中线经过点A(4，0)， 所以中线AD所在直线的斜率 kAD＝＝－. 从而得直线AD的方程为 y＝－(x－4)，即3x＋5y－12＝0. 故BC边上中线的方程为 3x＋5y－12＝0(－1≤x≤4). (2)当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx. 将B(－3，4)代入，得4＝－3k. 解得k＝－. 所以所求直线的方程为y＝－x， 即4x＋3y＝0. 当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，由题意可设直线的方程为＋＝1. 将B(－3，4)代入，得＋＝1. 解得m＝. 所以所求直线的方程为＋＝1， 即x＋2y－5＝0. 综上所述，该直线的一般式方程为4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0. [知能解读]　 如右图，在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，设直线l上的任意一点M的坐标为(x，y)，则＝(x－x0，y－y0).由n·＝0，可得直线l的点法式方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程． 解　由已知，可得＝(－2，2). 因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)，所以由直线的点法式方程可得所求直线的方程为－2(x－1)＋2(y－2)＝0，即x－y＋1＝0. [方法总结]　过点P(x0，y0)，法向量n＝(A，B)的直线l的点法式方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. [训练2]　已知直线l经过点A(3，1)，且与P(－1，0)，Q(3，2