1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 课程内容标准 学科素养凝练 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的点斜式． 2．掌握直线的点斜式和斜截式，并会熟练应用． 3．了解截距的概念，了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 通过直线方程的点斜式和斜截式的应用，提高数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养． 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0) 和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在 的直线 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在 的直线 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．(×) (2)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程.(×) (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函数的解析式.(×) (4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标．(√) 2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是(　　) A．y＝3x－2　　　　　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) D　[由点斜式得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2).] 3．(教材第11页练习题1改编)已知直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2　　　　 B．－1 C．3　　　　 D．－3 答案：C 4．无论k取何值，直线y－2＝k(x＋1)所过的定点是____________. 答案：(－1，2) [知能解读]　已知直线l过点(x0，y0)，若直线l的斜率存在，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)；若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0. 根据下列条件，求直线的方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4； (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1，1)，与x轴垂直． 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0. (2)因为直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率k＝tan 45°＝1. 所以直线的点斜式方程为y－3＝x－2， 即x－y＋1＝0. (3)因为直线与x轴平行， 所以倾斜角为0°.故斜率k＝0. 所以直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)因为直线与x轴垂直，所以斜率不存在． 因此不能用点斜式表示这条直线的方程． 由于过点D且与x轴垂直的直线上所有点的横坐标都是1， 故所求直线方程为x＝1. [方法总结]　求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率．当已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标时，均可求出直线的方程．需要特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程，为x＝x0. [训练1]　求经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 解　(1)因为直线经过点P(3，4)，斜率k＝2， 所以直线方程为y－4＝2(x－3).如图①. (2)因为直线经过点P(3，4)，且与x轴平行，即斜率k＝0， 所以直线方程为y＝4.如图②. (3)因为直线经过点P(3，4)，且与x轴垂直， 所以直线方程为x＝3.如图③. 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [分析]　根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代入斜截式即可． 解　(1)由题意得k＝2，b＝－1. 由斜截式得y＝2x－1. (2)因为y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°. 因为所求直线的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的一半， 所以所求直线的倾斜角为30°. 所以k＝tan 30°＝. 又b＝－2， 所以所求直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. [方法总结] 1．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值