1.1.1&1.1.2 一次函数的图象与直线的方程&直线的倾斜角、斜率及其关系（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.在平面直角坐标系中，结合一次函数的图象，探索如何建立直线方程． 2．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念． 3．理解并掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的对应关系． 通过直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率与倾斜角、方向向量的对应关系的学习与运用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 　一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程． 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 记法 α 图示 取值范围 [0，π) 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近，倾斜程度越大 　如下图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝反映了直线l的倾斜程度． 由上图可知，k＝的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 四、直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1．由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan_α(其中α≠，0≤α＜π)． 2．结合正切函数的图象与性质，发现斜率k与倾斜角α有如下关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0 (0，) α＝ (，π) 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.如右图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2).若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(√) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(×) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(×) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．(×) (5)平面直角坐标系内所有的直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率．(√) 2．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　) A．①　　　 B．①②　　　 C．①③　　　 D．②④ C　[根据直线l的倾斜角的概念可知①③可以．] 3．[教材第7页例6(1)改编]在平面直角坐标系中，一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角α为(　　) A． B． C． D． B　[由题意得tan α＝.又0≤α<π，所以α＝.] 4．(教材第5页例2改编)若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)共线，则a的值为______. 4　[由题意得，kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.因为A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.] (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° (2)设直线l1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l1与l2的交点为A，且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l2的倾斜角为________． [分析]　对于(1)，由于α不确定，需分情况讨论；对于(2)，画出图象，利用图象求解． (1)D　[根据题意，画出图形，如图①②所示． 由于0°≤α＜180°，显然选项A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意． 通过画图(如①②图所示)可知： 当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.] (