3.1 空间直角坐标系（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（北师大版2019）

§1　空间直角坐标系 1．1　点在空间直角坐标系中的坐标 1．2　空间两点间的距离公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2．会求空间直角坐标系中点的坐标． 3．借助点在空间直角坐标系中的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，并灵活运用． 通过空间直角坐标系的建立、点在空间直角坐标系中的坐标表示、空间两点间的距离公式的学习与应用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．空间直角坐标系的定义 如下图，过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O ­xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． 2．画法 画空间直角坐标系O ­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． 3．右手系 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面，它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如下图所示). 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z). 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝． 这就是空间两点间的距离公式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(×) (2)空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0.(×) (3)关于坐标平面yOz对称的两点，它们的纵、竖坐标分别相等，横坐标互为相反数．(√) (4)将空间两点间距离公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(√) 2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴(　　) A．两两垂直，且相交于一点 B．两两平行 C．仅有两条不垂直 D．仅有两条垂直 A　[由空间直角坐标系的定义易知选A.] 3．(教材第94页习题3­1A组题2改编)点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　) A．(－1，0，1)，(－1，2，0) B．(－1，0，0)，(－1，2，0) C．(－1，0，0)，(－1，0，0) D．(－1，2，0)，(－1，2，0) B　[点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变，竖坐标为0.] 4．在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)和点B(2，1，－1)间的距离为__________． 　[|AB|＝＝.] 5．在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如下图)，点C1的坐标是__________． 答案：(1，1，1) [知能解读]　在给定的空间直角坐标系中，空间给定一点的坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．即空间内的点与有序实数组(x，y，z)是一一对应的． 如右图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标． (2)求点N的坐标． [分析]　求出各点在坐标轴上的投影，即可写出空间中各点的坐标． 解　(1)显然点D的坐标为(0，0，0). 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以点A的坐标为(3，0，0). 同理，可得点C(0，4，0)，点D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD， 所以点B的坐标为(3，4，0). 同理，可得点A1(3，0，5)，点C1(0，4，5). 与点B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则点B1的坐标为(3，4，5). (2)由(1)知C