4.3 第1课时 组合与组合数公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

4．3　组　合 第1课时　组合与组合数公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解组合与组合数的概念． 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明． 1.通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的核心素养． 2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的核心素养． [对应学生用书P133] 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 1．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 (1)C＝＝＝.其中n，m∈N＋，并且m≤n. (2)规定：C＝1. 3．组合数的性质 (1)一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数与从n个不同元素中选取(n－m)个元素的组合数相等，即C＝C. (2)C＝C＋C. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.(　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．(　　) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．(　　) (5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．下列计算结果是21的是(　　) A．A＋C　　B．C　　C．A　　D．C 答案：D　 3．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 答案：6　 4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 答案：15　 [对应学生用书P134] 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10人规定相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A＝90. (4)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (5)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，排列数为A＝720. [方法总结] 1．判断具体问题是组合或排列问题的流程 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [训练1]　判断下列问题是组合问题还是排列问题，并求出相应的组合数或排列数． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ 解：(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，组合数为C＝35. (2)因为发件人与收件人有顺序区别，所以问题与顺序有关，是排列问题，排列数为A＝56. 在A，B，C，D四位候选人中． (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A与组合数C间的等量关系吗？ 解：(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12种选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. (2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C＝6种选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD. (3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A个排列，即A＝CA.类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数A与组合数C间的等量关系为A＝CA. [方法总结]　组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，