1.2.1 等差数列及其通项公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．2　等差数列 1．2.1　等差数列及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解等差数列的概念. 掌握等差数列的判定方法． 2．掌握等差中项的概念及其应用． 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项． 4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关问题． 1．通过对等差数列概念及其通项公式、等差中项的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 2．通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P9] 1．文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋). 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 如果在a与b中间插入一个数M，使a，M，b成等差数列，那么 M叫作 a与b的等差中项． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)常数列是等差数列．(　　) (2)任何两个数都有等差中项．(　　) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　　) (4)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 答案：C　 3.＋1和－1的等差中项为________． 答案：　 4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________． 答案：3　 [对应学生用书P10] [知能解读]　对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 命题角度1　等差数列的判定 判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解：(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 命题角度2　根据递推公式判定与证明等差数列 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.数列是否为等差数列？说明理由． 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝， 即数列是首项为＝，公差为d＝的等差数列． [变式]　将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．试证明数列{bn}为等差数列． 证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． [方法总结]　用定义法判定等差数列的步骤 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [训练1]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N＋.求证：数列{bn}是等差数列． 证明：∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(n∈N＋)，且b1＝＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列． 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. [方法总结]　三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或与等差中项有关的计算问题．如要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋). [训练2]　已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列， 所以＝＋， 即2ac＝b(a＋c). 因为＋＝ ＝＝ ＝＝， 所以，，成等差数列． 在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)判断91是否为等差数列中的项；(2)求等差数列的第10项． 第二步，精读题目挖已知条件：已知等差数列