1.1 第2课时 递推公式与数列的函数特性（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

第2课时　递推公式与数列的函数特性 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解数列的递推公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项． 2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念，掌握判断数列增减性的方法． 3．利用数列的增减性求最大值、最小值． 1．通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养． 2．借助数列递推公式、数列增减性的研究培养逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P5] 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法． 1．数列的单调性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 常数列 各项都相等 an＋1＝an 2．数列的图象 数列的图象是一系列孤立的点．从数列的图象上看，递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点；递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点；摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点；常数列的图象是一系列从左至右水平状的孤立点． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的图象与对应函数的图象相同．(　　) (2)常数列不具有增减性．(　　) (3)若an＋1＝an＋1，则数列{an}是递减数列．(　　) (4)递推公式是表示数列的一种方法．(　　) (5)所有的数列都有递推公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．在数列{an}中，an＝－n＋1，则{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 答案：B 3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　) A．1　　　B． C．　　　D． 答案：B 4．有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，…；④－2，2，－2，2，－2，….________是递增数列，________是递减数列，________是摆动数列，________是常数列．(填序号) 答案：①　②　④　③ [对应学生用书P5] 命题角度1　根据数列的递推公式写出数列的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 命题角度2　由递推公式探求数列的周期性 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 023. 解：a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－，a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1.故{an}是周期为4的数列． 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 命题角度3　由递推公式求通项 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an； (2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N＋)，求通项an. 解：(1)当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝ ＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由题意，数列{an}中各项均不为零且满足an＋1＝an(n∈N＋)，所以＝(n∈N＋)， 所以an＝××…×××a1＝××…×××1＝. [方法总结] 1．由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项