1.3.1 等比数列及其通项公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．3　等比数列 1．3.1　等比数列及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解等比数列的定义，掌握等比数列的判定方法． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．理解等比中项及其应用． 4．理解等比数列的性质及应用． 1．通过等比数列概念、等比中项的学习培养数学抽象的核心素养． 2．借助于等比数列通项公式及其性质的学习提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P22] 一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比是q，那么等比数列{an}的通项公式为an＝ a1qn－1. 在两个数a、b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则称G为a，b的等比中项． 表达式：G2＝ab，即G＝±. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列数列中，成等比数列的是(　　) ①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，…. A．①②③　　　　　 B．①② C．①②④ D．①②③④ 答案：C　 3．(教材习题改编)已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝(　　) A．　　B．± C．　　D．± 答案：D　 4．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A． B． C． D． 答案：C　 5．7＋3与7－3的等比中项是________． 答案：2或－2　 [对应学生用书P23] 命题角度1　等比数列的判定 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，∴此数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1，＝2，∴≠.∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 命题角度2　根据递推公式判定与证明等比数列 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2). 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [变式]　将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． 证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． [方法总结] 1．判定等比数列，要抓住三个要点 ①从第2项起；②要判定每一项，不能有例外；③每一项与它的前一项的比是同一个常数，且不能为0. 2．判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [训练1]　在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋).求证：数列{an＋3}是等比数列． 证明：方法一(定义法)∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 方法二(等比中项法)∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2. 即an＋3，an＋1＋3，an＋2