1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和的公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和的公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．通过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P16] 1．等差数列的前n项和的公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋(a1－)n． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　 　B．54　 　C．36　 　D．18 答案：A 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________． 答案： 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝10，S5＝5，则S8＝________． 答案：44 [对应学生用书P17] (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n A　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n. (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 25　解析：设等差数列{an}的公差为d， 由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得－2＋d＋(－2)＋5d＝2， 解得d＝1. 根据等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d， 可得S10＝10×(－2)＋＝－20＋45＝25. [方法总结]　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值 (2)利用等差数列的性质解题 [训练1]　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　) A．13　　　B．35　　　C．49　　　D．63 D　解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8.∴S9＝＝＝63. (2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解：由 得 解方程组得或 已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，判断这个数列是否是等差数列，并求其通项公式bn. 解：∵当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1). 整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2). ∴{bn}为等差数列． 又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1， ∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. [方法总结]　已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． [训练2]　设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N＋，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3). 所以4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝3.所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有