重难点03 二次函数综合（7种题型）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

重难点03二次函数综合（7种题型） ( 能力拓展 ) 题型一：特殊三角形问题 1．（2021·上海市洛川学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点、，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）利用待定系数法，设抛物线的表达式为，根据题意列出等式，进行求解即可； （2）由（1）求出的坐标，分别求出，利用勾股定理的逆定理，可以判断出为直角三角形，即可求出面积． 【详解】解：（1）设，由题意可得： ， 解得：， ， （2）如图，连接， 当时，， ， ， ， 根据两点间的距离公式可得： ， ， ， ， 为直角三角形， ． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式、三角形的面积，解题的关键是掌握利用待定系数法进行求解二次函数的解析式． 2．（2020·上海·二模）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为﹣1，过点C（0，3）的直线y=﹣x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）确定b，c的值； （2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）； （3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)b=,c=3;(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;(3)当t= 或或 时,△PQB为等腰三角形． 【分析】（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值． （2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标．Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得． （3）本题要分情况讨论： ①PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在（2）中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值． ②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值． ③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值． 【详解】（1）已知抛物线过A（﹣1,0）、C（0,3）,则有： , 解得, 因此b=,c=3; （2）令抛物线的解析式中y=0,则有﹣x2+ x+3=0, 解得x=﹣1,x=4; ∴B（4,0）,OB=4, 因此BC=5, 在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5, ∴sin∠CBO=,cos∠CBO=, 在直角三角形BHP中,BP=5t, 因此PH=3t,BH=4t; ∴OH=OB﹣BH=4﹣4t, 因此P（4﹣4t,3t）． 令直线的解析式中y=0,则有0=﹣x+3,x=4t, ∴Q（4t,0）; （3）存在t的值,有以下三种情况 ①如图1,当PQ=PB时, ∵PH⊥OB,则QH=HB, ∴4﹣4t﹣4t=4t, ∴t=, ②当PB=QB得4﹣4t=5t, ∴t=, ③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2, ∴（8t﹣4）2+（3t）2=（4﹣4t）2, ∴57t2﹣32t=0, ∴t=,t=0（舍去）, 又∵0＜t＜1, ∴当t=或或时,△PQB为等腰三角形． 3．（2022·上海市奉贤区汇贤中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E． （1）求该抛物线的表达式及点D的坐标； （2）求∠DCB的正切值； （3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标． 【答案】（1），D（4，1）；（2）；（3）点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【分析】（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解； （2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝，CE＝3，则CH＝，即可求解； （3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3， 则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3， 将点B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36+6b﹣3，解得：b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2， 即点A（2，0），则点D（4，1）； （2）过点E作EH⊥BC交于点H， C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD的表达式