重难点02 实际问题与二次函数（8种题型）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

重难点02 实际问题与二次函数（8种题型） ( 技巧 方法 )一、根据实际问题列二次函数的关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 二、二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ( 能力拓展 ) 题型一：图形问题 一、填空题 1．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域） 【答案】 【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可； 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴BE⊥DE， ∴BE=DE， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式． 2．（2022·上海浦东新·九年级期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 【答案】 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 3．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）一个矩形的周长为20，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ___． 【答案】S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 【分析】得出矩形的另一边长，则面积＝两边长的乘积，根据边长为正数可得自变量的取值范围． 【详解】解：∵矩形的周长为20，其一边的长为x， ∴另一边长为10﹣x， ∴S＝x（10﹣x）=﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 故答案为S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的关键． 二、解答题 4．（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长； (3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点是坐标是 【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可； （3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案． （1） 直线与轴、轴相交于点、， 当y=0，则-x+4=0，解得，x=4， 当x=0，则y=4， ∴、.， 代入得， ， 解得，，， ∴抛物线的解析式为. （2） ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当x=1时， ∴， ∴. （3） 如图，设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点是坐标是， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点是坐标是 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系． 5．（