第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法） ( 考点 考向 ) 1.一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 2.顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 3.交点式 已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 4.平移变换型 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 5.对称变换型 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． ( 考点 精讲 ) 解法一：一般式 1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式． 【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x． 2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标． 【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得 ， 解得． 则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5； 由y＝2x2﹣3x+5＝2（x）2可知，抛物线对称轴为直线x，顶点坐标为（，）． 3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上， 且AB＝OC，求二次函数的表达式． 【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得． 【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0） ∴AO＝1，OB＝4， AB＝AO+OB＝1+4＝5， ∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）， 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵二次函数图象过A，C，B三点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为yx2x+5． 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标 分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5， ∴点C的坐标为（5，4）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D， ∴， 解得． 故抛物线的解析式为yx2x+4． 解法二：顶点式 1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可． 【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2， 把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1， 解得a， 所以这个函数的关系式为y（x+2）2+2． 2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可． 【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6， 把（2，﹣8）代入得a（2﹣