专题4.1 函数、一次函数与正比例函数-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题4.1 函数、一次函数与正比例函数 ( 目标导航 ) 1、掌握函数的概念与表示方法； 2、会求函数的值，并确定自变量的取值范围； 3、掌握一次函数、正比例函数的概念； 4、能根据函数图象解决实际问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 函数 知识点 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 【微点拨】 1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2. 【知识拓展1】函数关系的辨析 例1．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A．x+y=5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，即可解答． 【详解】解：A、∵x+y=5，∴y=5-x， 对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数， 故A不符合题意； B、∵，∴， 对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数， 故B不符合题意； C、∵，∴， 对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与之相对应，所以y不是x的函数， 故C符合题意； D、，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数， 故D不符合题意；故选C． 【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，据此即可确定哪一个是函数图象． 【详解】解：①②③的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故①②③的图象是函数， ④的图象不满足满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故D不能表示函数． 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数．解决问题的关键是熟练掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【知识拓展2】自变量的取值范围与函数值 例2．（2022·河南驻马店·八年级期中）函数y＝中自变量的取值范围是___． 【答案】2＜x≤4 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，4-x≥0且x-2＞0，解得2＜x≤4，故答案为：2＜x≤4． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【即学即练】 2.（1）（2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答． 【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意； B．当时，，故此选项不符合题意； C．当时，，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键． （2）（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______． 【答案】## 【分析】根据三角形的内角和等于180°，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，解得：．故答案为： 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键． 【知识拓展3】函数的三种表示方法 例3．（2022·云南楚雄·七年级期末）在关系式中，下列说法错误的是(　　　) A．的数值可以任意选择 B