专题4.3 一次函数的应用-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题4.3 一次函数的应用 ( 目标导航 ) 1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系； 2、掌握单个一次函数图象的应用； 3、掌握两个一次函数图象的应用； 4、能利用函数图象解决数学问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 一元一次方程与一次函数的关系 知识点 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 【知识拓展1】一次函数与一元一次方程 例1．（2022·河北省·初二期中）一次函数（k，b为常数，)的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x的方程的解为__________. 【答案】x＝3 【分析】直接根据图象找到y＝kx＋b＝4的自变量的值即可． 【解析】观察图象知道一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4）， 所以关于x的方程kx＋b＝4的解为x＝3，故答案为：x＝3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一方程，能结合图象确定方程的解是解答本题的关键． 【即学即练】 1．（2022·陕西韩城·初二期末）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案． 【解析】解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的， ∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0） ∴当y=0时，方程的解为x=3，故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键． 【知识拓展2】一次函数与三角形的面积 例2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，一次函数与的图象相交于点．(1)求点A的坐标及m的值；(2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点的坐标分别代入一次函数解析式中，即可得出二元一次方程组，解出即可得出结果； （2）首先根据一次函数解析式，分别得出点B、C的坐标，进而得出的长，再根据（1）中点A的坐标，得出三角形的高，再根据三角形的面积公式，计算即可． （1）解：∵一次函数与的图象相交于点 ∴把点分别代入一次函数与， 可得：，解得：，∴点的坐标为， （2）解：∵根据（1）可得：一次函数解析式为与， 又∵一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C， ∴当时，，解得：，即点的坐标为， ∴当时，，解得：， 即点的坐标为，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象交点的求法、一次函数与几何问题，求出点的坐标是解本题的关键． 【即学即练】 2.（2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+3与x轴交于点A，且经过点B（2，m），已知点C（5，0）．(1)求直线BC的函数解析式；(2)D为线段BC上一点，且△ABD与△AOB面积相等，求点D的坐标． 【答案】(1)y=﹣2x+10(2)（，） 【分析】（1）由直线l的表达式求得点B（2，6），然后利用待定系数法即可求解； （2）过点O作ODAB交BC于点D，则直线OD的表达式为，与直线l的交点即为D点，将直线BC与OD表达式联立即可求解． （1）将点B（2，m）代入+3得：m=×2+3=6，∴点B（2，6）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 将点B、C的坐标得：，解得：，故：直线BC的表达式为：y=﹣2x+10； （2）过点O作ODAB交BC于点D，由可知D点为所求，如图 ∵直线l：y=x+3， ∴直线OD的表达式为y=x， 解得：，即：点D的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，明确直线OD的解析式是解题的关键． 知识点02 一次函数的实际应用 【知识点】 一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题