专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题6.8 相似三角形的常见模型【八大题型】 【苏科版】 【题型1 A字型】 2 【题型2 “8”字形】 6 【题型3 AX字型】 12 【题型4 子母型】 19 【题型5 三角形内接矩形型】 26 【题型6 双垂直型】 31 【题型7 手拉手型】 35 【题型8 一线三角型】 44 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【题型1 A字型】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________． 【答案】4.5 【详解】如图，设之间的距离为x米， 根据题意可得，， ∴ ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得，经检验是所列方程的解， ∴，解得， 经检验是所列方程的解， 故路灯的高为4.5米． 故答案为：4.5． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即，解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【答案】甲同学 【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， ∵DE∥AB ∴△CDE∽△CBA ∴ 即 ∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P． 由勾股定理得： AC＝ ∵， ∴ 设乙同学加工的桌面边长为ym， ∵DE∥AC ∴△BDE∽△BAC ∴ 即 ∴y＝ ∵＞，即x＞y，x2＞y2 ∴甲同学的加工方法更好． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G， ∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3， ∴AF=4，BE=DG=3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°， ∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF， 在△BCE与△ACF中，， ∴△BCE≌△CAF， ∴CF=BE=3， ∴AC==5， ∵AF⊥l3，DG⊥l3， ∴△CDG∽△CAF， ∴，即， 解得：CD=， ∴BD==． 故选：A． 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【题型2 “8”字形】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又