专题6.5 相似三角形的应用【七大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题6.5 相似三角形的应用【七大题型】 【苏科版】 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】 1 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】 3 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】 7 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】 11 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】 16 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】 19 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】 23 【知识点 相似三角形的应用】 在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模型。 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】 【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 【答案】步 【分析】本题只需要证出，利用相似三角形的性质可以得到：，然后可以求出CK的值，得出答案． 【详解】解：由题意可知：，AH＝15 ∵H为GD的中点，K为DE的中点 DH＝100，DK＝100 ∵AH∥DK ∴∠CDK＝∠A 而∠CKD＝∠AHD ∴ ∴ 即， ∴ 答：出南门步恰好看到位于A处的树木． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度． 【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD=3， 经检验，CD=3是所列方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 【答案】C 【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例． 【详解】设小城的边长为x步，根据题意， Rt△CAF∽Rt△CDM， ∴， 即， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长． 【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础． 《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈