2.3.2 圆的一般方程（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

2.3.2　圆的一般方程 [学习任务] 1．掌握圆的一般方程及其特点． 2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． [对应学生用书第62页] 知识点　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 [对应学生用书第62页] 探究一　圆的一般方程的概念 [例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝． 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解． 1．圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0，则圆的圆心和半径分别为(　　) A．(2，－3)　25 B．(－2，3)　5 C．(2，－3)　5 D．(－2，3)　25 解析　将圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0化为标准方程，得(x＋2)2＋(y－3)2＝25，所以圆心是(－2，3)，半径为5，故选B． 答案　B 2．若过点P(2，2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，则实数k的取值范围是________． 解析　由题意，根据圆的一般方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0可化为(x－k)2＋(y－1)2＝k＋1， ∵方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0表示圆， ∴k＋1＞0，解得k＞－1． ∵过点P(2，2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线， ∴点P(2，2)在圆外，可得(2－k)2＋(2－1)2＞k＋1， 解得k＜1或k＞4， 综上所述，k的取值范围是(－1，1)∪(4，＋∞)． 答案　(－1，1)∪(4，＋∞) 探究二　圆的一般方程的求法 [例2]　已知点A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． [解]　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆的一般方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0． (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为 x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6． 若本例(2)中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？ 解　∵kAB＝＝，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝－3． 联立方程得 即圆心C的坐标为， r＝ ＝， ∴圆C的方程为＋＝． 应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点 (1)如果碰到由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心坐标、半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r． (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F． 3．已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 解析　因为线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率为＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－4＝－(x－2)，即y＝6－x与直线l方程联立，得圆心坐标为(3，3)．∵圆的半径r＝＝，所以，圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0． 答案　C 4．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程是________． 解析　设圆的方程为