2.2.4 点到直线的距离（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

2.2.4　点到直线的距离 [学习任务] 1．了解点到直线的距离公式的推导方法． 2．掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题． 3．初步掌握解析法研究几何问题的方法． [对应学生用书第57页] 知识点一　点到直线的距离 1．定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． 2．图示： 3．公式： d＝． 知识点二　两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．图示： 3．求法：转化为点到直线的距离． 4．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．(A，B不全为0，C1≠C2) [对应学生用书第57页] 探究一　点到直线的距离 [例1]　(1)若点P(2，1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的方程为(　　) A．x＝0 B．3x＋4y＝0 C．x＝0或3x＋4y＝0 D．x＝0或3x－4y＝0 [解析]　由＝2，化简得4ab－3b2＝0，所以b＝0或4a＝3b，所以，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0． [答案]　C (2)已知点A(1，3)和点B(5，2)到直线l的距离相等，且l过点(3，－1)，则直线l的方程为(　　) A．x＋4y＋1＝0或x＝3 B．x＋4y－1＝0或x＝3 C．x＋4y＋1＝0 D．x＋4y－1＝0 [解析]　∵点A(1，3)和点B(5，2)， ∴kAB＝＝－． ∵点A(1，3)和点B(5，2)到直线l的距离相等，且l过点(3，－1)， ∴直线l与直线AB平行，且直线l过点(3，－1)，或直线l的方程为x＝3(过线段AB中点)， ∴直线l的方程为：y＋1＝－(x－3)或x＝3， 整理得：x＋4y＋1＝0或x＝3． [答案]　A (1)利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设直线方程的何种形式，都要化成一般式方程后才可用公式． (2)求直线的方程一般用待定系数法，此时要考虑到直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在． (3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用． 1．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，－1) C．(1，2)或(－2，1) D．(1，2)或(2，－1) 解析　∵点P在直线3x＋y－5＝0上， ∴设P(x，－3x＋5)， 利用点到直线的距离公式得：＝， 解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为(1，2)或(2，－1)． 答案　D 2．已知点A(－1，2)，B(1，4)，若直线l过点M(－2，－3)，且A，B到直线l的距离相等，则直线l的一般式方程为________． 解析　设直线l的斜率为k，因为点A(－1，2)，B(1，4)到直线l的距离相等，直线l过点M(－2，－3)， 若A，B两点在直线l的同侧，则AB∥l，即k＝kAB＝＝1， 所以直线l的方程为：y＋3＝x＋2，即x－y－1＝0； 若A，B两点在直线l的不同侧，则直线l必过AB中点(0，3)，即k＝＝3， 所以直线l的方程为：y＝3x＋3，即3x－y＋3＝0． 答案　x－y－1＝0或3x－y＋3＝0 探究二　两平行直线的距离 [例2]　(1)若直线l1：x＋by＋6＝0与l2：(b－2)x＋3y＋2b＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为直线l1：x＋by＋6＝0与l2：(b－2)x＋3y＋2b＝0平行，所以b(b－2)＝3，解得：b＝－1或b＝3， 当b＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，此时l1与l2重合，不符合题意；当b＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，此时l1与l2间的距离为d＝＝，故选B． [答案]　B (2)(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0 [解析]　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9， 直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2， 由题知：d1＝，d2＝， 因为＝，所以＝， 即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－， 即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0． [答案]　BD 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式． 当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝； 当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0