1.2.4 二面角（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.4　二面角 [学习任务] 1．理解二面角和二面角的平面角的概念． 2．会用几何法和向量法求二面角的大小． [对应学生用书第26页] 知识点一　二面角及其度量 1．二面角的定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．如图(1)所示，其中，直线l叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β． 　 图(1)　　　　　图(2)　　 2．二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．如图(2)所示，二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 3．二面角的范围：[0，π]． 4．两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 知识点二　用空间向量求二面角的大小 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ． θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． [对应学生用书第26页] 探究一　几何法求二面角 [例1]　(1) 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(　　) A．1 B．2 C． D． [解析]　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB中点M，连接C1M，CM，则∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角．设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a，∴tan∠C1MC＝＝． [答案]　D (2)(2022·绍兴高二期中)已知菱形ABCD满足AB＝AC＝2，现将△ABC沿直线AC进行翻折，当BD＝时，二面角B－AC－D的平面角的大小是(　　) A． B． C． D． [解析]　设AC∩BD＝E，菱形ABCD满足AB＝AC＝2，BE＝DE＝．因为AC⊥BD，所以BE⊥AC，DE⊥AC，所以∠BED就是二面角B－AC－D的平面角．由于BD＝，所以BE＝DE＝BD＝，所以△BED是等边三角形，所以∠BED＝． [答案]　C 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角大小．作二面角的平面角的方法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法． 1．AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　) A．60° B．30° C．45° D．15° 解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．易得BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝AC，∴∠PCA＝45°． 答案　C 2．如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设α为二面角D1－AE－D的平面角，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析　如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 在平面ABCD内过点D作DH⊥AE于点H，连接D1H，DE， 则∠D1HD即是二面角D1－AE－D的平面角， 且AE＝＝， 由S△ADE＝×2×2 ＝·AE·DH＝2， 解得DH＝， ∴D1H＝，∴sin α＝＝． 答案　C 探究二　利用面积比求二面角 [例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，求平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值． [解]　如图，易知四边形AEC1F为菱形． ∵EB⊥平面ABCD，CC1⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，∴正方形ABCD为菱形AEC1F在平面ABCD内的射影．连接AC1，EF，则EF＝a，AC1＝a，∴S菱形AEC1F＝AC1·EF＝a2，S正方形ABCD＝a2． 设平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝＝，即平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值为． 利用射影面积与图形面积比求二面角时公式cos θ＝的意义：θ为二面角的大小，S为在二面角的一个面内的图形F的面积，S′为图形F在另一个面内的射影F′的面积．当二面角为钝角时，此时二面角的大小为π－θ． 3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值． 解　如图，设BE＝y，由已知可得，在Rt