1.2.3 直线与平面的夹角（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.3　直线与平面的夹角 [学习任务] 1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念． 2．会用向量法求线面角． [对应学生用书第23页] 知识点一　直线与平面所成的角 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角． 2．直线与平面所成的角 定义：如图(1)，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． (1)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°． 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α． 图(1)　　　　　　　图(2)　　 (2)性质：最小角． 如图(2)，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1·cos θ2． 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 知识点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线的方向向量，n为平面的法向量． θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－． cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|． [对应学生用书第24页] 探究一　利用定义求直线与平面的角 [例1]　(1)如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为(　　) A．　　　　　 B． C． D． [解析]　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以PB与平面PAC所成角为∠BPC． 因为AC＝3，PA＝4，BC＝5，所以PC＝5，PB＝5， 所以sin∠BPC＝＝． [答案]　A (2) 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BCC1B1所成角的大小为(　　) A．45° B．60° C．30° D．75° [解析]　 取BC的中点D，连接AD，B1D， 由AB＝AC，则AD⊥BC，且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BCC1B1所成的角． 设AB＝，则AA1＝1， AD＝＝＝， AB1＝＝＝， 所以sin∠AB1D＝＝，所以∠AB1D＝45°． 即AB1与平面BCC1B1所成的角为45°． [答案]　A 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法： ①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上； ②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影． 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为16，点P在平面A1B1CD1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示：设正方体的边长为a，则a3＝16， 故a＝2，即AB＝2， ∴A1C1＝a＝4． 连接C1P，C1P＝ ＝＝2． ∵A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP， 可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角． ∴在Rt△CPO中，sin∠CPO＝＝＝． 答案　B 2．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，D为BC的中点，则SD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B． C．3 D． 解析　连接AD．∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点， ∴AD＝2×＝．又SA⊥平面ABC， ∴∠SDA为SD与平面ABC所成的角，∴tan∠SDA＝＝＝． 答案　A 探究二　公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用 [例2]　如果∠APB＝∠BPC＝∠APC＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，设A在平面BPC内的射影为O，连接OP，∵∠APB＝∠APC， ∴点O在∠BPC的角平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC，即cos 60°＝cos∠APO·cos 30°， ∴cos∠APO＝． [答案]　D 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1．在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角． 3．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AA1＝a． 求证：A1O⊥平面