1.2.2 第2课时 面面位置关系、三垂线定理及其逆定理（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　面面位置关系、三垂线定理及其逆定理 [学习任务] 1．会利用空间向量证明两平面的平行和垂直． 2．掌握三垂线定理及其逆定理并会运用． [对应学生用书第21页] 知识点一　两平面平行、垂直的判定 n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． 知识点二　三垂线定理及其逆定理 定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． [对应学生用书第21页] 探究一　利用空间向量证明平面与平面平行 [例1]　 在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1为B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D． [证明]　如图所示，以B点为原点建立坐标系，设AB＝a，BC＝2b，BB1＝c， 则A(a，0，0)，C1(0，2b，c)，B1(0，0，c)，A1(a，0，c)， 所以D1(0，b，c)，设D(0，y0，0)(0≤y0≤2b)， 所以＝(－a，y0，0)，＝(－a，2b，c)，＝(a，0，c)，＝(0，b，c)． 设平面AC1D的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则m·＝－ax1＋y0y1＝0， 且m·＝－ax1＋2by1＋cz1＝0， 取y1＝a，则x1＝y0，z1＝， 则m＝． 又因为A1B∥平面AC1D， 所以m·＝ay0＋c×＝0， 解得y0＝b， ∴m＝． 设平面A1BD1的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·＝ax2＋cz2＝0，且n·＝by2＋cz2＝0， 取z2＝1，则x2＝－，y2＝－， 则n＝， 所以n＝－m，所以m∥n，所以平面A1BD1∥平面AC1D． 证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β ⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F． 证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，0)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥，即得 令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1，2)． 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥， 得解得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)． 因为n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F． 探究二　利用空间向量证明平面与平面垂直 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．求证： (1)AE⊥PD； (2)平面PBD⊥平面PAC． [证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． (1)因为E是PC的中点，所以E的坐标为(1，1，1)， 所以＝(1，1，1)． 又因为＝(0，2，－2)， 所以·＝1×0＋1×2＋1×(－2)＝0， 所以⊥，即有AE⊥PD． (2)因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC． 因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥AP． 因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC， 所以平面PAC的一个法向量为＝(－2，2，0)． 设平面PBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， ＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)， 由取z＝1，x＝1，y＝1， 所以平面PBD的一个法向量为n＝(1，1，1)． 因为n·＝1×(－2)＋1×2＋1×0＝0， 所以n⊥，所以平面PBD⊥平面PAC． 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 解　(1)证明　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． ∴