1.2.2 第1课时 平面的法向量及线面位置关系（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　平面的法向量及线面位置关系 [学习任务] 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直． [对应学生用书第18页] 知识点一　平面的法向量 1．定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 2．性质：(1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； (3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 知识点二　直线与平面平行、垂直的判定 v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． [对应学生用书第18页] 探究一　求平面的法向量 [例1]　 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． [解]　以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)． (1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A， ∴AD⊥平面SAB，且AB，SA⊂平面SAB， ∴＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)． 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，∴得方程组∴ 令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝(2，－1，1)． 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量． 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，． (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)． (1)设平面BDD1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， ∵＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1，0)． (2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)． ∴即 令x2＝2，得y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1)． 探究二　利用空间向量证明线面平行 [例2]　 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE． [证明]　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，E． 所以＝(0，－b，0)，＝． 设平面ABE的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝． 又＝， 所以n·＝0．又C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE． 应用向量法证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行． 2．如图所示的五面体中，四边形ABCD是正方形，DA⊥平面ABEF，AB∥EF，AE⊥AF，DA＝AF＝1，AE＝，P，Q分别为AE，BD的中点．求证：PQ∥平面BCE． 证明　∵AE＝，AF＝1，AE⊥AF， ∴∠AEF＝30°． ∵AB∥EF， ∴∠EAB＝30°． 以A为原点，AE，AF，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则E(，0