1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及其应用（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　空间直角坐标系及其应用 [学习任务] 1．了解空间直角坐标系． 2．会求空间中的点的坐标、两点间的距离以及两点的中点坐标． 3．掌握空间向量坐标的简单应用． [对应学生用书第12页] 知识点一　空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy．然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． 1．x轴、y轴、z轴两两互相垂直，都称为坐标轴． 2．通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． 3．在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示． 知识点二　空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标 1．在空间直角坐标系中，点M坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 2．在空间直角坐标系下，如果指定e1，e2，e3为以O为原点，且与x轴、y轴、z轴正方向同向的单位向量，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且的坐标与P点坐标相同．即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)．　 知识点三　空间向量坐标的应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． ||＝ ． 线段AB中点M的坐标为． [对应学生用书第13页] 探究一　空间向量的坐标表示 [例1]　设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标． [解]　 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上． ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0)． 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0)． 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0，0，)． ∴＝－＝(1，1，－)， ＝－＝(0，－2，0)． (答案不唯一) 用坐标表示空间向量的步骤 1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 解　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 探究二　空间线段的中点坐标与距离公式 [例2]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离． [解]　如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A1(0，0，4)，C1(2，2，4)，C(2，2，0)，D1(0，2，4)．由|MC1|＝2|A1M|，可得M．由N为CD1的中点，可得N(1，2，2)．∴MN＝＝． (1)空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点为P(x0，y0，z0)，则x0＝，y0＝，z0＝． (2)计算空间两点间的距离 ①若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式； ②若点的坐标未知，则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系)，利用平面图形及空间图形的性质，结合坐标系表示出相关点的坐标，最后代入空间两点间的距离公式． 2．已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)．则过A点的中线长为________；过B点的中线长为________． 解析　由题意，BC的中点D(4，1，－2)，AC的中点E， 所以AD＝＝2， BE＝ ＝． 答案　2　 3．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析　因为A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)， 所以AB＝＝， AC＝＝， BC＝＝， 所以AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形． 答案　A 探究三　空间向量坐标的应用 [例3]　 如图，在直三棱柱ABC－