1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　空间向量的坐标及运算 [学习任务] 1．理解空间向量坐标的概念． 2．掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量数量积的坐标表示． 3．掌握空间向量的模和夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． [对应学生用书第10页] 知识点一　空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点二　空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 知识点三　空间向量的平行、垂直 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)． 1．平行：a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b⇔＝＝． 2．垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． [对应学生用书第10页] 探究一　空间向量的坐标运算 [例1]　已知a＋b＝(－2，5，4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝________，b＝________． [解析]　a＝＝[(－2，5，4)＋(4，－1，2)]＝(2，4，6)＝(1，2，3)． b＝＝[(－2，5，4)－(4，－1，2)]＝(－6，6，2)＝(－3，3，1)． [答案]　(1，2，3)　(－3，3，1) (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外． (3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用． 1．向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝________． 解析　a＋6b－8c＝(2，0，5)＋6(3，1，－2)－8(－1，4，0) ＝(2，0，5)＋(18，6，－12)－(－8，32，0)＝(28，－26，－7)． 答案　(28，－26，－7) 2．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 解析　依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2)． 答案　A 探究二　空间向量的模和夹角 [例2]　(1)若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则＝(　　) A． B．2 C．3 D．3 [解析]　由于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1)． 故＝＝＝3． [答案]　D (2)(2022·合肥高二检测)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，k，－)，若向量a，b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________． [解析]　由题意可知：cos〈a，b〉＝＝＜0且cos〈a，b〉＝≠－1，解得k＞－且k≠， 即k∈∪． [答案]　∪ 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． (2)|a|＝＝． (3)cos〈a，b〉＝＝． 3．(2022·太原高二期末)已知a＝(1－t，1，0)，b＝(2，t，t)，则的最小值是(　　) A．1 B． C． D． 解析　因为a＝(1－t，1，0)，b＝(2，t，t)， 所以b－a＝(1＋t，t－1，t)， 则＝＝≥， 当t＝0时，的最小值是． 答案　B 4．已知a＝(1，0，0)，b＝(0，－1，1)，若a＋λb与b的夹角为120°，则λ的值为(　　) A． B．－ C．± D．± 解析　∵a＋λb＝(1，－λ，λ)，b＝(0，－1，1)，∴(a＋λb)·b＝2λ，|a＋λb|＝，＝，∴cos 120°＝＝＝－，可得λ＜0，解得λ＝－． 答案　B 探究三　空间向量的平行与垂直 [例3]　已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5) (1)当∥时，求实数λ的值； (2)当⊥时，求实数λ的值． [解]