1.1.2 空间向量基本定理（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.1.2　空间向量基本定理 [学习任务] 1．理解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题． 2．理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题． [对应学生用书第7页] 知识点一　共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使b＝λa． 2．平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb． 3．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是：存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 4．共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． 知识点二　空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋yb＋zc． 1．若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0． 2．表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． 3．如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量．a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．此时，a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． [对应学生用书第7页] 探究一　空间向量的共面问题 [例1]　(1)(2022·临沂高二期末)已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有＝x＋＋，则x的值是(　　) A．1 B．0 C．3 D． [解析]　因为＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，所以必有x＋＋＝1，解得x＝，故选D． [答案]　D (2) 对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，请问与，是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由． [解]　与，共面．证明如下： 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，由向量加法法则， 得＝＋＋，＝＋＋，① 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有＝－，＝－，② 将②代入①中，再两式相加得2＝＋， 所以＝＋，即与，共面． 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． 1．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面． 解　，，三个向量共面． 因为＝＋＋， 所以3＝＋＋， 化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0， 即＋＋＝0，即＝－－， 故，，共面． 探究二　空间向量基本定理 [例2]　 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值． (1)＝x＋y＋z； (2)＝x＋y＋z． [解]　(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋， 又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1． (2)∵＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋＋， 又＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝1． 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 2．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，F为MN中点．用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)； (2)． 解　如图所示， (1)＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c． (2)＝(＋) ＝＋ ＝×＋×(＋) ＝＋＋＝a＋b＋c． 探究三　空间向量基本定理的应用 [例3]　已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°． (1)求·； (2)求的模． [解]　 如图，令＝a，＝b，＝c，∴{a，b，c}为一组基底． (1)∵＝b＋c，＝－＝a－c， ∴·＝(b＋c)·(a－c)＝a·b＋a·c－b·c－c2＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1 ＝－1＝－． (2)∵＝＋＋， ∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ＝1＋1＋1＋