1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 [学习任务] 1．掌握空间向量夹角概念及表示方法． 2．理解两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律． 3．掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的垂直． [对应学生用书第4页] 知识点一　两个向量的夹角 1．定义：给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉． 2．如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b互相垂直，记作a⊥b． 3．规定，零向量与任意向量都垂直． 知识点二　空间向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0． 2．投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积． 知识点三　空间向量数量积的性质 1．a⊥b⇔a·b＝0． 2．a·a＝|a|2＝a2． 3．|a·b|≤|a||b|． 4．(λa)·b＝λ(a·b)． 5．a·b＝b·a(交换律)． 6．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [对应学生用书第5页] 探究一　空间向量的夹角 [例1]　 如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，求下列各对向量的夹角． (1)〈，〉；(2)〈，〉； (3)〈，〉；(4)〈，〉； (5)〈，〉；(6)〈，〉． [解]　(1)〈，〉＝180°． (2)因为∥且方向相同，所以〈，〉＝0°． (3)因为∥且方向相反，所以〈，〉＝180°． (4)因为△BCD是等边三角形，所以〈，〉＝∠DBC＝60°． (5)因为与首尾相接，所以〈，〉＝180°－∠ACD＝120°． (6)因为∥，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠DAC＝120°． 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解　连接AD′，CD′，BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD， ∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°； 〈，〉＝〈，〉 ＝180°－〈，〉＝135°； 〈，〉＝∠D′AC＝60°； 〈，〉＝180°－〈，〉 ＝180°－60°＝120°； 〈，〉＝〈，〉＝90°． 探究二　空间向量的数量积 [例2]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： (1)·； (2)·； (3)·． [解]　(1)·＝· ＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝． (2)·＝·＝||2＝． (3)·＝·(－)＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0． 求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值． 2．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，求： (1)a·(b＋c)； (2)a·(a＋b＋c)； (3)(a＋b)·(b＋c)． 解　(1)在正方体中，AB⊥AA′，AB⊥AD，故a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0． (2)由(1)知，a·(a＋b＋c)＝a·a＋a·(b＋c)＝1． (3)由(1)及AD⊥AA′知，(a＋b)(b＋c)＝a·(b＋c)＋b2＋b·c＝1． 探究三　数量积性质的应用 [例3]　(1)已知空间向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° [解析]　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0， ∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|·cos〈a，b〉 ＝1－1××cos〈a，b〉＝0， ∴cos〈a，b〉＝．∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°． [答案]　D (2)在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|． [解]　∵＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋． ∴·＝－＋＋· ＝2－·－·＋·＋2＋2 ＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2． 故||＝＝a，即|MN|＝a． 利用数量积的性质可求空间向量的夹角、模以及解决