1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　空间向量的概念及线性运算 [学习任务] 1．了解空间向量的相关概念． 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差．了解向量加法的交换律和结合律． 3．掌握数乘向量运算的意义及运算律． [对应学生用书第1页] 知识点一　空间向量的概念 1．空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的模(或长度)．空间向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点与终点相同的向量称为零向量，记为0，|0|＝0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等向量 两个向量平行 (两个向量共线) 方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，记作a∥b．此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合 相反向量 与向量a方向相反、大小相等的向量称为向量a的相反向量，记－a 知识点二　共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 知识点三　空间向量的加减运算及运算律 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ＋＝． 2．空间向量加法交换律：a＋b＝b＋a； 空间向量加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点四　数乘向量 1．与平面向量一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，即|λa|＝|λ||a|． (2)当λ＞0时，λa与向量a方向相同；当λ＜0时，λa与向量a方向相反． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 2．空间向量数乘运算满足以下运算律： (1)λa＋μa＝(λ＋μ)a． (2)λ(a＋b)＝λa＋λb． [对应学生用书第2页] 探究一　空间向量的概念 [例1]　(1)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c [解析]　A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． [答案]　BC (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) [解析]　根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，．与向量相反的向量有，，，． [答案]　，，　，，， 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1． ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 1． 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量； (3)试写出与向量相等的所有向量； (4)试写出向量的所有相反向量． 解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． (2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，． (3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，． (4)向量的相反向量有，，，． 探究二　空间向量的加减运算 [例2]　 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)＋－； (2)－－． [解]　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量． (2)－－＝＋＋＝＋＝， 如图中向量． 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行