第一章 1.2.3 第2课时 充要条件（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　充要条件 [学习任务] 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．理解数学定义与充要条件的关系． [对应学生用书第23页] 知识点　充要条件 1．四类条件 (1)一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． (4)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 2．充要条件与数学中定义的关系 一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件． 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等．(　√　) (2)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例．(　√　) (3)xy>0是x>0，y>0的充要条件．(　×　) [对应学生用书第23页] 探究一　充分不必要、必要不充分、充要条件的判断 [例1]　判断下列各题中，p是q的什么条件． (1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图象开口向上，q：a>0； (2)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． [解]　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图象开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件． (2)∵p⇒q，qp，∴p是q的充分不必要条件． (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件． (4)∵pq，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系．对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．(2022·衡水高一期中)对于实数x，“x<1”是“|x|<1”的____________条件．(　　) A．充分不必要　　　 B．必要不充分 C．充要　　 D．既不充分也不必要 解析　当x<1时，例如当x＝－2<1，但|x|>1，故充分性不成立；反之，若|x|<1，则－1<x<1，故必要性成立． 答案　B 2．(2022·济南高一期中)“a<b”是“|a|>|b|”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　－1<1，但|－1|＝|1|，所以命题“若a<b，则|a|>|b|”为假；|5|>|3|，但5>3，所以命题“若|a|>|b|，则a<b”为假．“a<b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件． 答案　D 3．“x＝1”是“x2＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　解方程x2＝1可得x＝±1，∵{1}{－1，1}， ∴“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件． 答案　A 探究二　充要条件的证明 [例2]　已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. [证明]　先证充分性： 若a＋b＝1，则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 再证必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立． 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即把探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程．因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 4．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. 充分性：由ac<0，可推得b2－4ac>0及x1x2＝<0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知，一元二