第一章 1.2.1 命题与量词（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

1.2.1　命题与量词 [学习任务] 1．掌握命题的概念，能对命题进行真假判断． 2．理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． [对应学生用书第16页] 知识点一　命题的概念 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)“这盆花长得太好了！”是命题．(　×　) (2)“x>0”不是命题．(　√　) (3)“3≥2”是真命题．(　√　) 知识点二　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)” 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　) (2)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　×　) (3)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　×　) [对应学生用书第16页] 探究一　命题的真假与判断 [例1]　下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数； (2)x≥16； (3)一个实数不是正数就是负数； (4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根； (5)空集是任何非空集合的真子集． [解]　(1)是假命题．例如：1既不是质数也不是合数． (2)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假． (3)是假命题．因为0既不是正数也不是负数． (4)是真命题．代入验证即可． (5)是真命题．由空集的定义和性质不难得出． (1)判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假． (2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可． 1．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式． (1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ (2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边； (3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数； (4)1＋2＋3＋…＋2 022； (5)这盆花长得太好了！ 解　(1)为疑问句，(5)为感叹句，两者均不是命题， (4)为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题． (2)为命题，且为真命题，三角形中，若某角为大角，则它对的边大于小角所对的边． (3)为命题，且为假命题，比如1－，1＋的和为有理数，但它们均为无理数．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 探究二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [例2]　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. [解]　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数， 所以该命题是真命题． (3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2， 所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2， 因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 (1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题． 2．(多选)(2022·廊坊高一期中)下列命题中是假命题的是(　　) A．∀x∈R，x3≥0　　　 B．∃x0∈R，x＝3 C．∀x∈Q，x3≥1　　 D．∃x0∈N，x＝3 解析　取x＝－，x3＝－<0，所以选项A，C不正确；由x＝3得x0＝是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，故选ACD． 答案　ACD 探究三　根据全称量词命题与存在量词命题的真假求