专题1 利用数轴、Venn图解决集合问题（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

__专题1__利用数轴、Venn图解决集合问题______________ [对应学生用书第14页] 在集合的运算中，特别是涉及集合的交集、并集、补集时，运算量大且抽象，容易出错，而若能巧用数轴、Venn图化解集合问题，就可解题更加直观、形象，从而提高解题效率． 题型一　利用数轴解决集合的运算问题 [例1]　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)． [解]　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B. 这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，∁UA＝{x|x<－2或3<x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3<x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<－2或2<x≤4}． 利用数轴表示数集是化解集合运算的常用手段，求解补集等问题时更要注意全集U及区间端点的取舍等问题． 题型二　利用数轴解决集合的逆运算问题 [例2]　设全集为I＝R，集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则{x|1<x≤2}＝(　　) A．M∪N　　　 B．M∩N C．(∁IM)∪N　　 D．(∁IM)∩N [解析]　如图所示，在数轴上表示集合M与集合N，这样结合已知条件逐一分析后可得到答案为D． [答案]　D 此题是一个集合的逆向运算问题，借助于数轴可对集合的本质属性了解得更加清楚，有助于问题的化解． 题型三　利用数轴解决求参数范围问题 [例3]　设集合A＝，B＝{x|2<x<10}，C＝{x∈R|x<a或x>a＋1}． (1)求A，∩B； (2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围． [解]　(1)A＝，∁RA＝{x|x<3或x≥7}， ∴∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． (2)∵A∪C＝R，则A和C如图所示： ∴解得3≤a<6. 综上所述，当A∪C＝R时，实数a的取值范围为. 利用数轴解决集合问题，关键要能够正确画出集合在数轴的范围表示，特别要注意区间端点是否包含． 题型四　利用维恩图解决集合中的元素问题 [例4]　(1)设全集U＝{不大于20的质数}，且A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∩B＝{7，11}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，17}，请绘制维恩图求出集合A，B； (2)利用(1)题中的维恩图解决下面问题： 向50名学生调查对A，B两观点的态度，结果如下：赞成观点A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成观点B的比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生比对观点A，B都赞成的学生的多1人．问：对观点A，B都赞成的学生有多少人？ [解]　(1)∵全集U＝{x|x取不大于20的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}， A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∩B＝{7，11}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，17}， ∴由维恩图可知A＝{3，5，13，19}，B＝{7，11，13，19}． (2)赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，如图，记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B. 设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为x＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x. 依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋x＋1＝50，解得x＝21. 故对观点A，B都赞成的学生有21人． 在集合的确定过程中，往往要用检验法进行验证，以得到正确答案．维恩图的优点在于可使问题形象、直观，因此借助于维恩图化解有关集合问题是一个有效的手段与方法． 学科网（北京）股份有限公司 $