第一章 1.1.3 第2课时 补集（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　补集 [学习任务] 1．了解全集的含义及其符号表示． 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 3．会用维恩图、数轴进行集合的运算． [对应学生用书第12页] 知识点一　全集 1．定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． 2．记法：全集通常记作U． [思考]　全集一定是实数集R吗？ [提示]　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 知识点二　补集的运算与性质 1．补集的定义 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 2．补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 ①A∪(∁UA)＝U；②A∩(∁UA)＝∅； ③∁U(∁UA)＝A． 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(　×　) (2)设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(　×　) (3)设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则∁UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}．(　×　) [对应学生用书第12页] 探究一　补集的运算 [例1]　(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝____________． [解析]　(1)方法一：∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}． 方法二：借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． [答案]　{2，3，5，7} (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝____________． [解析]　将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． [答案]　{x|x<－3或x＝5} 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含． 1．若区间U＝[－2，2]，则A＝[－2，0]的补集∁UA为(　　) A．(0，2)　　　 B．[0，2) C．(0，2]　　 D．[0，2] 解析　借助数轴易得∁UA＝(0，2]． 答案　C 2. (2022·鹤壁高一期中)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝____________，∁UB＝____________． 解析　方法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 方法二：可用维恩图表示 则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 答案　{－5，－4，3，4}　{－5，－4，5} 探究二　集合交集、并集、补集的综合运算 [例2]　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． [解]　如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　)