1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第1课时　用空间向量研究距离问题 [学习任务] 1．掌握利用空间向量求点、线、面间的距离公式和推导方法． 2．会用空间向量解决有关距离的问题．(重点) [对应学生用书第23页] 知识点一　点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝． 知识点二　点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． [对应学生用书第23页] 探究一　点到直线的距离 [例1]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [解]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 设DA＝2，则A(2，0，0)， E(0，2，1)，F(1，0，2)， 所以＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2). 所以||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， 所以在上的投影为＝ . 所以点A到直线EF的距离 d＝ ＝＝. 求点P到直线l的距离的步骤 (1)在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量n，并求其单位向量u＝； (2)计算直线上点A与已知点P对应的向量； (3)计算·u； (4)由公式d＝ 求距离． 1．已知在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，BC＝1，AA′＝2，求点B到直线A′C的距离． 解　作出空间直角坐标系如图所示， 因为AB＝1，BC＝1，AA′＝2， 所以A′(0，0，2)，C(1，1，0)，B(1，0，0)， 所以＝(1，1，－2)， ＝(0，1，0)， 则在上的投影为 ＝ ＝， 所以点B到直线A′C的距离为 d＝ ＝ ＝＝. 探究二　点到平面的距离 [例2]　已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离． [解]　以点D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)， D1(0，0，2)，E(0，1，1)， 所以＝(1，1，0)，＝(0，1，1). 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥. 故有所以所以 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1). 因为DD1＝(0，0，2)，所以DD1·n＝2，|n|＝， 所以点D1到平面BDE的距离 d＝＝＝， 即点D1到平面BDE的距离为. 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)在三棱锥中用等体积法求解； (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). [注意]　线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 2．在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 解　取AC的中点O，连接OS，OB. ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(0，2，0)，C(－2，0，0)， S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，). ∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0). 设n＝(x，y，z)为平面CMN的法向量， 则取z＝1， 则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1). ∴点B到平面CMN的距离d＝＝. 探究三　直线到它的平行平面的距离 [例3]　在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点． (1)求证：DA∥平面A1EFD1； (2)求直线AD到平面A1EFD1的距离． [解]　(1)证明　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，A(a，0，0)， D1(0，0，a)，A1(a，0，a)， 所以＝(a，0，0)，D1A1＝(a，0，0)，所以DA∥D1A1. 又D1A1⊂平面A1EFD1，DA⊄平面A1EFD1， 所以DA∥平面A1EFD1. (2)由F是CC1的中点知F， 所以D1F＝，＝. 设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的法向量，则 所以取z