1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(重点) 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系．(重点、难点) [对应学生用书第20页] 知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示 1．线线垂直的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 2．线面垂直的向量表示 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 3．面面垂直的向量表示 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [对应学生用书第21页] 探究一　直线和直线垂直 [例1]　已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [证明]　如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，，AA1的方向分别为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1， M，N， 所以AB1＝， ＝， 所以AB1·＝－＋＋＝0. 所以AB1⊥，即AB1⊥MN. 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直； (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． 1．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点．求证： (1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1). (1)BD1＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)， ∴BD1·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴BD1⊥，∴BD1⊥AC. (2)BD1＝(－1，－1，1)， EB1＝， ∴BD1·EB1＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴BD1⊥EB1，∴BD1⊥EB1. 探究二　直线和平面垂直 [例2]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. [证明]　由题意得，DA，DC，DP两两垂直， 所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)， B(1，1，0)，E. 所以＝(1，1，－1)， ＝， ＝. 法一　因为·＝(1，1，－1)· ＝0＋－＝0， 所以⊥，所以PB⊥DE. 因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD. 所以PB⊥平面EFD. 法二　设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)， ＝. 因为⊥，所以x＋－＝0， 即x＋y－z＝0.① 又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)， 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.② 由①②可知，x＝，y＝，z＝， 所以＝. 设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量， 则有即 所以取z1＝1，则n＝(－1，－1，1). 所以∥n，所以PB⊥平面EFD. 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直； (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 证明　法一　如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2， 则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)， ∴OA1＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)， 而OA1·＝1－1＋0＝0，OA1·＝－2＋0＋2＝0. ∴OA1⊥，OA1⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD. 法二　同证法一建系后，设面GBD的一个法