1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习任务] 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(重点) 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．(重点、难点) [对应学生用书第18页] 知识点　空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． (1)线线平行：l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2； (2)线面平行：l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0； (3)面面平行：α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． [对应学生用书第18页] 探究一　直线与直线平行 [例1]　在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. [证明]　法一　设＝a，＝b，AA1＝c， 则＝MB1＋B1A1＋A1N＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥.又∵R∉MN， ∴MN∥RS. 法二　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. ∴＝，＝， ∴＝， ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 证明直线平行的两种思路 1．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F. ∴＝，AC1＝(－a，b，c)， ∴＝AC1． 又FE与AC1不共线，∴EF∥AC1. 探究二　直线与平面平行 [例2]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. [证明]　法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N， 于是DA1＝(1，0，1)，＝(1，1，0)， ＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即取x＝1，则y＝－1，z＝－1， ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1). 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n.∴MN∥平面A1BD. 法二　＝C1N－C1M＝C1B1－C1C ＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴∥DA1， ∴MN∥平面A1BD. 法三　＝C1N－C1M＝C1B1－C1C ＝－A1A＝(＋)－(A1B＋) ＝－A1B． 即可用A1B与线性表示，故与A1B，是共面向量，故MN∥平面A1BD. 利用空间向量证明线面平行的三种方法 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示； 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 证明　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1， C1(0，a，b)，D， ∴AB1＝， ＝， DC1＝. 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 取y＝2b，则n＝(0，2b，－a).∵AB1·n＝ab－ab＝0，∴AB1⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 探究三　平面与平面平行 [例3]　在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFBD. [证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(1，3，4). ∴＝，＝，＝(－1，0，4)，＝(－1，0，4). ∴＝，＝，∴MN∥EF，AM∥BF. ∵EF∩BF＝F， ∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD. 又MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD. 证明面面平行问题的方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行； (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． 3．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D