1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习任务] 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) [对应学生用书第13页] 知识点一　空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点二　空间向量的相关结论 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos a，b＝＝ 2.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 (1)P1P2＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝|P1P2| ＝. [对应学生用书第14页] 探究一　空间向量的坐标运算 [例1]　(1)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． (2)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________． [解析]　(1)a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3).所以(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋0＋3＝5. (2)若a，b，c三向量共面，则存在实数x，y使得a＝xb＋yc. 因为a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)， 所以(2，－1，3)＝x(－1，4，－2)＋y(7，5，λ)＝(－x＋7y，4x＋5y，－2x＋λy)， 即解得λ＝. [答案]　(1)－2　5　(2) 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先用坐标形式设出向量，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 1．(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析　a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)， a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C均不正确． 答案　ABC 探究二　利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 [例2]　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证： (1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. [证明]　(1)如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为 ，(0，0，1). ∴＝. 又点A，M的坐标分别是(，，0)，， ∴＝. ∴＝. 又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. ∵D(，0，0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴·＝0， ∴⊥，即AM⊥DF. 同理，⊥，即AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. 1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解　如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)， 因为3