1.3.1 空间直角坐标系（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．3.1　空间直角坐标系 [学习任务] 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和由已知坐标作出点．(重点) 3．能在空间直角坐标系中求出向量的坐标．(重点) [对应学生用书第10页] 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz； (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． [注意]　画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分． 知识点二　空间直角坐标系中点和向量的坐标表示 1．空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．空间直角坐标系中向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). [对应学生用书第11页] 探究一　求空间中点的坐标 [例1]　如图所示空间直角坐标系，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． [解]　如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1， 取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|， 知|MM1|＝|CC1|＝， |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1， 所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同， 点M的竖坐标为，所以M. 由N1为DM1的中点，知N1. 因为N1N与z轴平行， 且|N1N|＝＝， 所以N. 求某点P的坐标的方法 先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到相应的点P的坐标． 1．如图所示，四棱锥DOABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标． 解　法一　点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1). 法二　＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋＋[－(＋)] ＝＋＋＝(2，3，1)， 所以点M的坐标为(2，3，1). 探究二　空间中点的对称问题 [例2]　点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是________________，关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是________________． [解析]　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(－2，－1，－3)；点P(－2，1，3)关于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(－2，1，－3). [答案]　(－2，－1，－3)　(－2，1，－3) 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 (1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)； (2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)； (3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)； (4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)； (5)关于Oxy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)； (6)关于Oyz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)； (7)关于Ozx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z). 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横