第一章 1.5.1 全称量词与存在量词（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．5.1　全称量词与存在量词 [学习任务] 1．理解全称量词、全称量词命题的定义． 2．理解存在量词、存在量词命题的定义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点) [对应学生用书第18页] 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量 词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量 词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” [对应学生用书第18页] 探究一　全称量词命题和存在量词命题的判断 [例1]　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． [解]　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2； (3)是存在量词命题，表示为∃x∈R，|x|≤0. (4)是存在量词命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 1．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题． 探究二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [例2]　判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，使得x3＜1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，有x2＞0. [解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2＞0”是假命题． 2．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2若x1＜x2，都有x＜x； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题． (1)所有的等边三角形都有三边对应成比例，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1＜x2，但(－5)2＞(－3)2，所以该命题是假命题． (4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题． [例]　(1)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围． (2)已知命题p：∀x∈，－a≥0是真命题，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，方程为2x－1＝0， 显然有实数根，满足题意； 当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根， 得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0. 综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}． (2)∵－a≥0，∴a≤， 由题意知a≤， 又x∈， ∴1≤≤2，∴a≤1. 故实数a的取值范围为{a|a≤1}． (2022·盐城高二期中)已知命题“存在x∈{x|0＜x＜3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤0，或m≥6} B．{m|m＜0，或m＞6} C．{m|m＜0，或m≥6} D．{m|m≤0，或m＞6} 解析　由已知“存在x∈{x|0＜x＜3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，等价于“任意的x∈{x|0＜x＜3}，使得等式2x－m≠0成立”是真命题，又因为0＜x＜3，所以0