第一章 1.4.2 充要条件（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．4.2　充要条件 [学习任务] 1．理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题．(重点) 3．能对充要条件进行证明．(难点) [对应学生用书第16页] 知识点　充要条件 1．逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． [对应学生用书第16页] 探究一　充分、必要、充要条件的判断 [例1]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x＞1，q：x2＞1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab＞0. [解]　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab＞0”，即p不能推出q. 而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数；q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bcDa＝b，所以p是q的充分不必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件． 探究二　充要条件的证明 [例2]　(链接教科书第22页例4)证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. [证明]　(1)必要性：在等腰梯形ABCD中， AB＝DC，∠ABC＝∠DCB， 又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD. (2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. ∵AD∥BE，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE＝AC. ∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明　充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根) 因为ac＜0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根． 设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0， 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 学科网（北京）股份有限公司 $