第一章 1.4.1 充分条件与必要条件（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

1．4.1　充分条件与必要条件 [学习任务] 1．理解充分条件、必要条件的概念． 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) [对应学生用书第14页] 知识点一　命题的概念 1．命题 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (3)结构形式：“若p，则q”“如果p，那么q”等形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2．推出符号“⇒”的含义 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作“p⇒q”． (2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作“pDq”． 知识点二　充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [对应学生用书第14页] 探究一　充分条件的判断 [例1]　(链接教科书第18页例1)下列命题中，p是否是q的充分条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根． [解]　(1)∵a＝1，b＝－1时，a＋b＝0， 但a2＋b2＝2，∴a＋b＝0Da2＋b2＝0. ∴p不是q的充分条件． (2)∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等D四边形是矩形． ∴p不是q的充分条件． (3)当x＝1时，x2－4x＋3＝0， ∴x＝1⇒x2－4x＋3＝0. ∴p是q的充分条件． (4)由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0，即m＜－. ∵m＜－1⇒m＜－，即p⇒q， ∴p是q的充分条件． 1．(1)下列各题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． (2)“a＞2，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件． 解析　(1)①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件． ③∵m＜－2，∴12＋4m＜0， ∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． (2)由a＞2，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4， ∴是充分条件． 答案　(1)③　(2)充分 探究二　必要条件的判断 [例2]　指出下列哪些命题中p是q的必要条件． (1)在△ABC中，p：AC＞AB，q：∠B＞∠C； (2)已知x，y∈R，p：(x－1)(x－2)＝0，q：x＝1. [解]　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B＞∠C⇒AC＞AB，所以p是q的必要条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的必要条件． 故(1)(2)命题中p是q的必要条件． 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 解析　∵x＞3⇒x＞2，∴A是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4Dx＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，∴C是真命题；∵qDp，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 答案　AC 探究三　根据充分条件(必要条件)求参数(范围) [例3]　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解]　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是－≤a＜0. 1．(变条件)将本例中的条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解　p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A.所以 2．(变条件)将本例中的条件q改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解　p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q