考点10 函数的周期性和对称性-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第一册)

考点10 函数的周期性和对称性 1、常见的确定函数周期的条件 函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 2、周期性的应用 （1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． （2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． （3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． （4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 3、对称性的应用 （1）函数自身的对称性 ①函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。 ②函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。 （2）不同函数对称性 ①函数与的图像关于直线成轴对称。 ②互为反函数的两个函数关于直线对称。 考点一 函数的周期性及应用 1．（2022·广西桂林·高一期末）已知是以2为周期的函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C． D．7 【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即 所以. 故选：A. 2．（2022·江苏扬州·高一期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【解析】